Hecke operators in K-theory of bianchi groups

Abstract

Esta tesis es esencialmente una introducción al estudio de operadores de Hecke actuando en la K-teoría equivariante del espacio clasificante para acciones propias de grupos de Bianchi.

El documento está dividido en dos partes. La primera parte incluye definiciones y generalidades sobre acciones propias, (co)homología de Bredon, K-teoría y operadores de Hecke; éstos se dan siempre pensando en su aplicación a grupos de Bianchi, que son grupos de matrices discretos. Después de esto, definimos un operador de Hecke en K-teoría usando una descomposición por clases de conjugación de elementos de orden finito.

En la segunda parte, describimos la estructura algebraica de los grupos de Bianchi, esto es, su descomposición como productos amalgamados, incluyendo descomposiciones para grupos de Bianchi Euclideanos. Nos centramos en el grupo $\Gamma_1=PSL_2(Z[i])$, para el cual calculamos su cohomología de grupos, cohomología de Bredon y K-teoría equivariante del espacio clasificante para acciones propias. Luego, dado un primo en $Z[i]$, definimos un subgrupo de congruencia asociado en $\Gamma_1$ a fin de calcular un operador de Hecke en $K_{\Gamma_1}^\ast(\underline{E}\Gamma_1)$ factorizando por la K-teoría de este subgrupo. Concluimos con cálculos explícitos para $p=1+i$.