Eigenvalues of a Hessenberg-Toeplitz matrix

Abstract

Una matriz de Hessenberg Toeplitz es un tipo especial de matriz cuadrada que es “casi” triangular, estás matriz tiene ceros en las entradas sobre la primera superdiagonal, cada diagonal descendente de derecha a izquierda es constante y las entradas son coeficientes de Fourier de una función diferenciable definida en los complejos, esta función es conocida como el símbolo de la matriz.

En el siguiente trabajo estudiaremos los valores propios de una matriz de Hessenberg Toeplitz cuyo símbolo tiene problemas de diferenciación en un punto específico, por esta razón lo dividiremos en dos casos, valores propios lejos del origen del plano complejo (valores propios internos) y valores propios cercanos al origen del plano complejo (valores propios externos) .

En conclusión, se obtuvo una correspondencia unívoca entres los valores propios y algunos elementos del dominio de la extensión del símbolo, también para los valores propios internos hay una relación entre las raíces n-ésima de la unidad, y para los valores propios extremos hay una relación entre los ceros de una función analitica, así solo es necesario encontrar una única vez estos ceros.

Para los valores propios, sin importar el caso (internos o externos), se va a dar una aproximación la cual solo depende el tamaño de la matriz y de sus respectivas relaciones ya mencionadas, más aún podemos aproximar los vectores propios. Es importantes resaltar que no depende del tamaño de la matriz, puede tomar valores grandes como el número de Avogadro.