Introducción a la teoría geométrica de groups

Abstract

El propósito de este documento es introducir conceptos de un área de las matemáticas conocida como teoría geométrica de grupos que desarrolla el estudio de grupos finitamente generados, explorando la conexión entre las propiedades algebraicas de estos con las propiedades geométricas y topológicas de los espacios en los que actúan.

El documento consta de tres capítulos agrupados en dos partes, la primera parte se compone de los capítulos uno y dos, donde el objetivo es dar a los grupos una representación como espacios métricos y darles propiedades geométricas, como métricas, geodésicas, caminos, etc. Para esto, utilizamos herramientas importantes como los Grafos de Cayley y las funciones de crecimiento. Además, estudiamos dos ejemplos explícitos que son el Grupo Lamplighter L_2 y el Grupo F de Thompson, donde se puede evidenciar el potencial de estas herramientas en el estudio de grupos infinitos. La segunda parte (tercer capítulo), hace una introducción a una relación muy interesante entre espacios métricos conocidos como cuasi-isometrías y el Lema Švarc-Milnor, que utiliza los conceptos dados en la primera parte para relacionar grupos generados finitamente con espacios métricos, dando también propiedades e ideas importantes para clasificar estos grupos hasta cuasi-isometrías.