Transformada de Radon y su inversión

Abstract

Se introducen las coordenadas polares generalizadas y las funciones Gamma y Beta, estudiaremos las integrales y derivadas fraccionarias para posteriormente usarlas en el desarrollo de una fórmula de inversión para la transformada de Radon. Introduciremos el Laplaciano fraccionario para motivar nuestro estudio sobre los potenciales de Riesz, calcularemos su transformada de Fourier y hablaremos brevemente sobre el espacio de Lizorkin, el cuál será, un subespacio del espacio de Scwhartz invariante bajo la acción del potencial de Riesz. Estudiaremos la transformada de Radon en el espacio tridimensional, hallaremos su transformada de Fourier y una fórmula de inversión para la transformada de Radon, esta estará escrita en términos del operador Laplaciano y la transformada dual de Radon. Para el caso general primero mostraremos que la transformada de Radon conmuta con movimientos rígidos del espacio euclideano, lo cuál, nos permite reducir el problema de inversión a funciones radiales pertenecientes al espacio de Schwartz. En el caso de funciones radiales hallaremos una fórmula de inversión usando integrales fraccionarias e integración polar. Para funciones arbitrarias perteneciendo al espacio de Schwartz usaremos la integración sobre el grupo especial ortogonal y su relación con la integración sobre la esfera para hallar una fórmula de inversión usando el caso radial. Finalmente, introduciremos la transformada dual de Radon y usaremos los potenciales de Riesz para escribir a la transformada inversa de Radon en términos de potencias fraccionarias del operador Laplaciano