Amalgam decomposition and cohomology of the group SL_2(Z) and the Bianchi groups

Abstract

Este trabajo de grado contiene un par de ejemplos de cómo los grupos de cohomología de ciertos grupos de matrices se pueden calcular usando su descomposición como producto amalgamado y, la relación entre esos grupos y sus espacios clasificantes correspondientes.

El documento está dividido en dos partes. La primera parte describe un método geométrico para probar que el grupo especial lineal SL_2(Z) es un producto amalgamado de grupos cíclicos, usando la acción del grupo sobre el plano hiperbólico. Luego, usamos esta descomposición y una sucesión exacta larga de Mayer-Vietoris para calcular los grupos de cohomología de este grupo.

La segunda parte del trabajo de grado trata con grupos de Bianchi, que son definidos como PSL_2(O_d), donde O_d es el anillo de enteros de una extensión cuadrática imaginaria del cuerpo de los números racionales. La descomposición en amalgama de unos grupos particulares, los grupos de Bianchi Euclideanos, es dada, y concluimos con el cálculo de los grupos de cohomología del grupo Gamma_1=PSL_2(O_1).